Introduction : Redéfinir l'Apprentissage Mathématique par la Problématique
L'enseignement des mathématiques, dans sa quête d'efficacité et de pertinence, a vu émerger et se développer des approches pédagogiques visant à engager les élèves de manière plus profonde et significative. Parmi celles-ci, la pratique des problèmes ouverts se distingue comme une méthode puissante, transformant l'apprenant en un véritable acteur de la découverte mathématique. Le problème ouvert est une situation d'enseignement qui place l'élève dans la position d'un mathématicien confronté à un problème dont il ne connaît pas la solution. Cette approche est fondamentale car elle le pousse à une démarche active, bien loin de la simple application de formules ou de procédures mémorisées. Il devra donc mettre en œuvre une « démarche scientifique » complète : essayer, conjecturer, tester, prouver.
Introduite au collège par l'IREM de Lyon il y a plus de vingt ans, cette pratique s'est progressivement étendue et enrichie. Elle a trouvé sa place non seulement dans les établissements du second degré mais également dans les écoles primaires, les classes de SEGPA, les lycées, et même les IUFM, témoignant de sa versatilité et de son efficacité à travers les différents niveaux d'enseignement. Cette universalité souligne la pertinence de placer la recherche et la découverte au centre du processus éducatif, préparant les élèves à une compréhension plus profonde et à une utilisation plus critique des concepts mathématiques. L'objectif est de dépasser les pratiques académiques excessives et rébarbatives qui peuvent parfois aliéner les élèves vis-à-vis de cette discipline essentielle, en leur offrant des mathématiques accessibles à leur entendement où ils se sentiraient (un peu) plus concernés.
La Pédagogie des Problèmes Ouverts : Cultiver la Démarche Scientifique
La caractéristique intrinsèque du problème ouvert réside dans son absence de solution immédiate ou de méthode de résolution préétablie explicitement. Contrairement aux exercices traditionnels, l'élève ne dispose pas d'un algorithme direct à appliquer. Cette indétermination initiale est précisément ce qui en fait un outil pédagogique inestimable. En effet, elle contraint l'élève à adopter une véritable démarche scientifique, miroir de celle du chercheur. Il s'agit d'une immersion dans le processus de la recherche mathématique, où l'expérimentation, l'intuition et la rigueur s'entremêlent.
Cette démarche scientifique s'articule autour de plusieurs étapes clés. Tout d'abord, "essayer" : l'élève est encouragé à manipuler les données, à faire des tentatives, qu'elles soient fructueuses ou non. Ces essais, même infructueux, sont des sources précieuses d'informations et de pistes à explorer. Ensuite vient l'étape de "conjecturer". À partir des observations issues des essais, l'élève formule des hypothèses sur la nature de la solution ou les régularités qu'il perçoit. Ces conjectures sont le fruit d'une intuition développée par la pratique. Vient ensuite le moment de "tester" ces conjectures, en les confrontant à de nouveaux cas, en les vérifiant avec des exemples plus complexes ou des contre-exemples potentiels. Enfin, l'étape la plus exigeante est celle de "prouver", où l'élève est amené à formaliser son raisonnement, à démontrer la validité de sa conjecture de manière rigoureuse et universelle. Cette capacité à prouver, souvent perçue comme l'apanage des niveaux supérieurs, est ici initiée dès les premiers stades de l'apprentissage.
Les nouveaux programmes scolaires mettent l'accent sur six composantes majeures de l'activité mathématique : chercher, modéliser, représenter, raisonner, calculer, communiquer. Le problème ouvert est un cadre idéal pour explorer et renforcer chacune de ces facettes. Chercher implique la curiosité et la persévérance face à l'inconnu. Modéliser consiste à traduire une situation concrète en langage mathématique. Représenter fait appel à la visualisation et à la schématisation des concepts. Raisonner est au cœur de la démarche de preuve et de justification. Calculer, bien que présent, est subordonné au sens. Enfin, communiquer permet d'expliciter sa démarche, d'argumenter ses choix et de partager ses découvertes avec ses pairs et son enseignant. Et, comme le montrent les auteurs de nombreux ouvrages pédagogiques, tout cela mérite d’être prolongé en classe, car l'apprentissage ne se limite pas à la résolution mais s'étend à la compréhension et à l'expression de celle-ci.
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Il est à noter que les apprentissages peuvent gagner beaucoup à posséder une dimension ludique qui, comme le précisent les nouveaux programmes, se révèle être « un levier effectif pour la réussite et la motivation » de tous les élèves. Cette dimension ludique ne s'oppose en rien à la rigueur et au sérieux requis par les apprentissages. Le rallye mathématique, par exemple, qui est un jeu très sérieux, démontre que la recherche et la compétition peuvent stimuler l'intérêt des élèves pour les mathématiques, brisant l'image d'une discipline austère pour révéler son potentiel d'exploration et de défi intellectuel. « Non ! » affirment les auteurs : la contradiction n'existe pas entre jeu et rigueur.
L'Étendue des Problèmes Ouverts : Des Exemples Concrets pour Tous les Niveaux
La richesse des problèmes ouverts réside dans leur capacité à s'adapter à une multitude de contextes et de niveaux d'enseignement, allant du cycle 3 de l'école primaire jusqu'aux lycées et au-delà. Les exemples qui suivent sont classés selon le niveau minimum pour lequel ils peuvent être proposés, illustrant la diversité des compétences mathématiques sollicitées, de l'arithmétique élémentaire à la géométrie complexe, en passant par la logique et l'algèbre.
Pour les plus jeunes, des problèmes comme celui du pianiste qui dit avoir joué du piano pendant 8000 heures en un an, invitent à la réflexion sur la conversion des unités de temps et l'estimation. De même, la question de savoir combien faut-il de cartes pour construire un château de 3 étages, puis de 5 étages, encourage la découverte de suites numériques et la généralisation. Le dilemme de Jules l’escargot, au fond d’un puits de 10 m de profondeur dont il voudrait bien sortir, engage des calculs simples mais aussi une compréhension fine des interactions numériques pas à pas. Des situations plus ludiques comme Lola qui s’amuse à plier une feuille de papier peuvent mener à des découvertes géométriques sur les propriétés des formes.
L'arithmétique et la combinatoire sont souvent au cœur des problèmes, par exemple, la recherche du nombre minimum de pièces de 2 € et de billets de 5 € qu'il faut combiner pour obtenir la somme de 23 € ou de 54 €. Le classique problème du fermier qui a des poules et des lapins, et qui voit 5 têtes et 16 pattes, introduit les prémices de la résolution de systèmes d'équations par la logique ou le tâtonnement organisé. D'autres demandent une observation attentive et une analyse critique, comme identifier les erreurs dans une infographie.
La géométrie occupe une place importante avec des défis variés. Le problème de Nicolas le jardinier qui possède un fil barbelé de 75 mètres de long et veut clôturer son jardin de façon rectangulaire pour qu'il soit le plus grand possible, par exemple, pour y planter le plus de salades possible, introduit la notion d'optimisation d'aire pour un périmètre donné. D'autres impliquent des manipulations comme plier un carré de côté 15 cm ou réfléchir à la trajectoire de l'araignée en A qui veut rejoindre la mouche en M en se déplaçant sur un parallélépipède, sollicitant la vision dans l'espace. Le problème de la gentille petite chèvre tenue en laisse par une corde de 9 m accrochée par un piquet au bord de la grange, tel qu'indiqué sur un schéma, ouvre la voie à des calculs d'aires de surfaces complexes. La géométrie dynamique est aussi présente, avec l'équerre ABC placée de telle sorte que le point A est situé sur l’axe des ordonnées et le point B sur celui des abscisses, et où l’on déplace l’équerre en faisant glisser A et B sur les axes.
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Des problèmes plus abstraits ou de logique pure se retrouvent également. Combien de pièces de 2 € et de billets de 5 € au minimum faut-il combiner pour obtenir la somme de 23 € ? de 54 € ? Un nombre entier peut se décomposer en plusieurs sommes d'entiers, invitant à la combinatoire et à la théorie des nombres. La protection de l’accès à une messagerie Internet par Lucie, qui a choisi un mot de passe constitué de 6 lettres suivi de 2 chiffres, explore les principes de la combinatoire. D'autres problèmes sont des classiques revisités, comme celui des 7 petites boîtes identiques dont l'une n'a pas le même poids que les autres, nécessitant un raisonnement par élimination et la maîtrise de la balance. Les situations impliquant des proportions, comme 30 participants à Koh-Lanta qui mangent 30kg de riz en 30 jours, ou le calcul de vitesses moyennes d'un cycliste qui monte une pente à 10km/h et la redescend à 30 km/h, sont autant d'opportunités d'aborder des concepts fondamentaux.
Certains problèmes s'appuient sur des données plus complexes, comme un sondage montrant que 85 % des français aiment les frites, 75 % des français aiment les hamburgers et 65 % des français aiment le soda, nécessitant une analyse des pourcentages et des croisements de données. D'autres sont des jeux de raisonnement pur, comme le scénario du millionnaire où l'on gagne 1 € le premier jour, 2 € le deuxième, 3 € le troisième, etc., introduisant les notions de suites arithmétiques. Même des défis apparemment insolubles sont proposés, tels que celui de la corde non élastique de 100,1 m attachée au sol entre deux piquets distants de 100 m, où Bill tire la corde en son milieu et la lève aussi haut qu'il le peut, qui mène à des résultats étonnants par l'application du théorème de Pythagore.
Des énigmes anciennes, comme celle issue du « Jiuzhang suanshu » ou « Les neuf chapitres sur l’art du calcul », ouvrage chinois datant d'environ 200 av. J.-C., posant la question des dimensions d'une ville carrée avec une porte au milieu de chaque côté, montrent la longévité et l'universalité de la pensée problématique. Tous ces exemples démontrent que le problème ouvert est un moyen privilégié de confronter les élèves à la richesse et à la diversité des mathématiques, les amenant à "être capable de…" raisonner et résoudre des défis stimulants.
Au-Delà de la Réponse Unique : Défis et Réflexions sur l'Enseignement Traditionnel
La mise en œuvre des problèmes ouverts agit comme un révélateur des lacunes et des limites d'un enseignement des mathématiques trop souvent centré sur la reproduction de méthodes et la quête d'une unique "bonne réponse". Cette approche traditionnelle peut conduire à des situations où, face à un problème, même simple, l'absence de raisonnement logique est frappante chez les élèves, et ce, dès la 6ème ! Pourquoi ? La faute à qui, la faute à quoi ?
Le texte soulève l'exemple éloquent du problème des photocopies : "euros; combien coûte une seule photocopie ? Trop facile : tout le monde est content. 25 euros. total, ne l'oublions pas, 24 euros… ne donne pas un sens à un résultat." Cette anecdote révèle un dysfonctionnement profond : les élèves, habitués à des exercices stéréotypés, appliquent des opérations sans en saisir le sens. Le même problème posé en francs conduisait aux mêmes scores, prouvant que la difficulté ne vient pas de la monnaie mais de la compréhension de la situation. L'élève trouve un résultat, mais ça ne s'interprète pas et on passe, content, à l'exercice suivant, sans questionner la validité ou la logique de sa réponse.
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Un cas concret est exposé : les élèves ont divisé 2400 par 600 et trouvé 4 centimes pour le prix d'une photocopie. Cette "solution" découle d'une règle erronée et répandue, à savoir qu'en cas de division, on divise toujours le plus gros nombre par le plus petit. Cette mécanique pure, dénuée de sens au résultat, est renforcée par une mauvaise lecture de la consigne ou une incapacité à la contextualiser. La question "M'sieur, la réponse, on la donne en centimes ?" montre bien que l'élève se soucie plus du format de la réponse que de sa pertinence. Le coût total était de 24 euros, et la recherche du prix d'une photocopie en centimes devrait impliquer une conversion préalable ou une compréhension de l'ordre de grandeur. Ce manque de "sens au résultat" est un obstacle majeur à une véritable compétence mathématique.
Cette déconnexion entre le calcul et la réalité rend les mathématiques abstraites et peu attrayantes aux yeux des élèves. Pour beaucoup, les maths sont perçues comme une discipline scolaire aride, sans lien avec le monde réel. Le fort en maths est souvent vu comme une bête curieuse, un intello, loin des aspirations littéraires ou artistiques. Cette image contribue à l'idée que les sciences, et les mathématiques en particulier, n'utilisent pas les autres disciplines ou qu'elles ne servent à rien dans la vie quotidienne, surtout au collège. Les programmes doivent donc mettre l'accent sur le pragmatisme de l'apprentissage et offrir des mathématiques accessibles à leur entendement où ils se sentiraient (un peu) plus concernés. L'heure de l'euro et des arrondis/conversions, par exemple, devrait naturellement stimuler le raisonnement logique, mais on s'étonne souvent du contraire.
Le problème n'est pas seulement didactique, il est aussi culturel. L'enseignement des mathématiques, parfois trop focalisé sur la performance académique immédiate, oublie de nourrir la curiosité naturelle des élèves et de valoriser le processus de recherche. Les problèmes ouverts, en revanche, offrent un cadre pour dépasser ces écueils en proposant des défis qui nécessitent un débridé mais néanmoins utile raisonnement. Ils encouragent l'élève à chercher, à se tromper, à recommencer, et finalement à construire son savoir, donnant un sens profond à ce qu'il apprend, loin des routines qui génèrent un savoir débridé et inutile.
Ressources et Contributions pour la Pratique des Problèmes Ouverts
La diffusion et l'intégration de la pédagogie des problèmes ouverts en France n'auraient pas été possibles sans l'engagement continu de diverses institutions et la publication de ressources pédagogiques fondamentales. Les Instituts de Recherche sur l'Enseignement des Mathématiques (IREM) ont joué un rôle pionnier et central dans cette démarche.
L'IREM de Lyon, en collaboration avec le CRDP de Lyon à Villeurbanne, a été un acteur majeur. C'est de là qu'est issue la brochure de 1984, "La pratique du problème ouvert, par G. Arsac, G. Germain, M. Mante, D. Pichod," qui est une référence essentielle. Cet ouvrage a été repris et complété en 2007, sous la collection "Repères pour agir," offrant une présentation détaillée des problèmes ouverts et d'autres pratiques parallèles. Il comprend des exemples d'utilisation, des rapports d'expérimentations, des énoncés et des propositions de mise en œuvre, constituant un outil précieux pour les enseignants. Ce livre, comme presque toutes les brochures IREM, est vendu à prix coûtant, ce qui en facilite l'accès. Le Plan Académique de Formations propose également de nombreux stages élaborés par des groupes IREM, visant à accompagner la formation continuée des enseignants du second degré et à les orienter vers ce type de pédagogie.
Gilles Aldon, par exemple, a rassemblé dans un livre dix problèmes ouverts qui ont été posés dans le cadre du Rallye Mathématique de l’Académie de Lyon. Cet ouvrage est à la fois un petit parcours dans les mathématiques sous-jacentes et un compte rendu de l'activité des élèves, offrant des perspectives concrètes sur l'impact de ces défis en classe. Le rallye mathématique est un excellent exemple de l'approche ludique et sérieuse à la fois.
Le groupe "Jeux" des IREM est particulièrement prolifique, publiant régulièrement de nouveaux excellents problèmes et leurs solutions, comme en témoigne la nouveauté des "495 énigmes et leurs solutions, Énigmes de Âne à Zèbre." Ces publications, souvent disponibles en stock limité, sont très prisées par la communauté enseignante. Un magnifique ouvrage est également sorti des presses de la Commission Inter IREM TICE, un livre qui fait référence sur Geogebra. C'est l'ouvrage que tous les professeurs de mathématiques attendaient, car tous les utilisateurs, du débutant au super confirmé, y trouveront quelque chose à apprendre, tant du point de vue technique que pédagogique.
En partenariat avec le réseau Canopé, des initiatives spécifiques sont coordonnées, comme le projet "Construire les nouveaux nombres au cycle 3 : Comment accompagner l’apprentissage de la construction des fractions et décimaux du CM1 à la sixième ?," également coordonné par Gilles Aldon. Ces ressources visent à adapter les savoirs aux besoins et au niveau du public concerné. La Cellule académique de formation de l'académie de Créteil, en partenariat avec la Mission « Valorisation des innovations pédagogiques », pilote aussi une collection de livres pratiques pour accompagner la formation continuée des enseignants du second degré.
Au-delà des supports papier, les outils numériques sont intégrés. Des concours, comme celui accessible par identifiant et mot de passe académique, du CM1 à la Terminale, portent sur différents aspects de l’informatique : information et représentation, pensée algorithmique, utilisation des applications, structures de données, jeux de logique, informatique et société. Cela montre la convergence des disciplines et l'évolution des outils mis à disposition pour stimuler la pensée mathématique et scientifique.