Un maître nageur dispose d'une corde de 128 mètres et de deux bouées pour délimiter une zone de baignade surveillée de forme rectangulaire. L'objectif est d'analyser et d'optimiser l'aire de cette zone en fonction de sa longueur.
Définition du Problème
Le maître nageur utilise la corde et les bouées pour créer un rectangle ABCD, représentant la zone de baignade. Une des dimensions du rectangle, AB, est désignée par 'x'. Le but est de déterminer les dimensions optimales du rectangle pour maximiser l'aire de la zone de baignade, tout en respectant la contrainte de la longueur de la corde disponible.
Contraintes et Variables
- Périmètre Utilisable : La corde de 128 mètres sert à délimiter trois côtés du rectangle (AB, BC et CD, en supposant que le quatrième côté est la plage).
- Longueur AB : Désignée par 'x'.
- Longueur BC (et AD) : Doit être exprimée en fonction de 'x' et de la longueur totale de la corde.
Détermination des Dimensions du Rectangle
Puisque la corde de 128 mètres forme trois côtés du rectangle, on a :
AB + BC + CD = 128
Sachant que AB = CD = x, l'équation devient :
Lire aussi: Devenir Maître-Nageur à Center Parcs
x + BC + x = 128
Donc, BC = 128 - 2x
Bornes de la Longueur 'x'
Plus Petite Valeur Possible de x : La plus petite valeur possible de x est théoriquement proche de 0, mais dans un contexte réel, elle doit être supérieure à 0 pour que la zone de baignade ait une existence physique. Mathématiquement, x > 0.
Plus Grande Valeur Possible de x : La plus grande valeur possible de x est atteinte lorsque BC tend vers 0. Dans ce cas, l'équation 128 - 2x > 0 doit être respectée. Ainsi :
2x < 128
Lire aussi: Maître nageur en piscine olympique
x < 64
Donc, la plus grande valeur possible de x est inférieure à 64 mètres. Si x = 64 mètres, alors BC = 0, ce qui signifie que le rectangle se réduit à une simple ligne.
Aire de la Zone de Baignade en Fonction de x
- Expression de l'Aire : L'aire A du rectangle ABCD est donnée par le produit de ses côtés :
A = AB * BC
Sachant que AB = x et BC = 128 - 2x, on obtient :
A(x) = x * (128 - 2x)
Lire aussi: Devenir Maître Nageur Sauveteur
A(x) = -2x² + 128x
Cette équation représente une parabole inversée, ce qui signifie qu'elle possède un maximum.
Analyse de la Fonction A(x) = -2x² + 128x
- Tableau de Valeurs : Pour analyser le comportement de la fonction A(x), on peut créer un tableau de valeurs en faisant varier x de 0 à 64 (avec un pas de 10, comme suggéré) et en calculant l'aire correspondante.
| x (Longueur AB) | A(x) (Aire) |
|---|---|
| 0 | 0 |
| 10 | 1080 |
| 20 | 1760 |
| 30 | 2040 |
| 40 | 2560 |
| 50 | 1400 |
| 60 | 3840 |
| 64 | 0 |
Maximum de l'Aire : Pour démontrer que A(x) a un maximum sur l'intervalle [0 ; 64], on peut utiliser plusieurs méthodes :
- Calcul du Sommet de la Parabole : La fonction A(x) est une fonction quadratique de la forme A(x) = ax² + bx + c, où a = -2, b = 128 et c = 0. L'abscisse du sommet de la parabole (qui correspond au maximum de la fonction) est donnée par la formule :
x_sommet = -b / 2a
x_sommet = -128 / (2 * -2) = 32
Cela signifie que l'aire maximale est atteinte lorsque x = 32 mètres.
- Calcul de la Dérivée : On peut aussi calculer la dérivée de A(x) par rapport à x et trouver où elle s'annule :
A'(x) = -4x + 128
Pour trouver le maximum, on pose A'(x) = 0 :
-4x + 128 = 0
4x = 128
x = 32
On retrouve le même résultat : l'aire maximale est atteinte lorsque x = 32 mètres.
- Analyse du Tableau de Valeurs : En observant le tableau de valeurs, on constate que l'aire augmente jusqu'à une certaine valeur de x, puis diminue. Le maximum semble se situer autour de x = 32.
Calcul de l'Aire Maximale
Pour calculer l'aire maximale, on remplace x par 32 dans l'équation de l'aire :
A(32) = -2 * (32)² + 128 * 32
A(32) = -2 * 1024 + 4096
A(32) = -2048 + 4096
A(32) = 2048
Donc, l'aire maximale de la zone de baignade est de 2048 mètres carrés.
Dimensions Optimales
Pour obtenir l'aire maximale, les dimensions du rectangle doivent être :
- AB = x = 32 mètres
- BC = 128 - 2x = 128 - 2 * 32 = 128 - 64 = 64 mètres
Le rectangle optimal a donc une longueur de 32 mètres et une largeur de 64 mètres. Il est important de noter que dans ce cas, le rectangle optimal est en fait un demi-carré.
Utilisation d'un Tableur
L'utilisation d'un tableur peut faciliter la création du tableau de valeurs et l'identification du maximum de la fonction A(x). Voici une méthode possible :
- Noms des Colonnes : Dans la première ligne du tableur, entrez les noms des colonnes : "Longueur AB (x)", "Longueur BC", "Aire".
- Valeurs de x : Dans la colonne "Longueur AB (x)", entrez les valeurs de x de 0 à 64 avec un pas de 2 (par exemple : 0, 2, 4, 6, …, 64).
- Formule pour BC : Dans la colonne "Longueur BC", entrez la formule pour calculer la longueur BC en fonction de x : "=128 - 2 * [cellule de x]". Par exemple, si la première valeur de x est dans la cellule A2, la formule serait "=128 - 2 * A2".
- Formule pour l'Aire : Dans la colonne "Aire", entrez la formule pour calculer l'aire en fonction de x et de BC : "=[cellule de x] * [cellule de BC]". Par exemple, si la valeur de x est dans la cellule A2 et la valeur de BC dans la cellule B2, la formule serait "=A2 * B2".
- Remplissage Automatique : Sélectionnez les cellules contenant les formules pour BC et l'Aire, et utilisez la fonction de remplissage automatique du tableur pour étendre les formules à toutes les valeurs de x.
- Identification du Maximum : Examinez la colonne "Aire" pour identifier la valeur maximale. Le tableur peut également être utilisé pour créer un graphique de l'aire en fonction de x, ce qui permet de visualiser plus facilement le maximum.