La conception et la compréhension des structures, qu'elles soient architecturales, mécaniques ou, dans notre cas, navales, reposent souvent sur des principes géométriques fondamentaux. Parmi ceux-ci, la notion de triangles semblables joue un rôle crucial, permettant de modéliser, d'analyser et de prévoir les propriétés de formes complexes. Les voiles d'un bateau, souvent de forme triangulaire, offrent une illustration concrète et pertinente de ce concept. Si les deux voiles de ce bateau sont des triangles semblables, cela implique des relations de proportionnalité et d'angularité très spécifiques qui sont essentielles à leur fonction et à leur esthétique. Ce contenu a été rédigé par l'équipe éditoriale de Kartable, avec une dernière modification au 12/05/2025, conforme au programme 2025-2026.
Définition Fondamentale des Triangles Semblables
Pour appréhender la similitude des voiles, il est impératif de comprendre ce qui définit des triangles semblables. Deux triangles sont dits « semblables » lorsque leurs angles sont deux à deux de même mesure. Cette définition est la pierre angulaire de toute étude sur ce sujet. Plus précisément, on peut affirmer que deux triangles sont semblables s'ils ont deux angles deux à deux de même mesure. Si l'on considère deux triangles, par exemple les triangles ABC et A'B'C', ils sont semblables si l'angle en A est égal à l'angle en A', l'angle en B est égal à l'angle en B', et l'angle en C est égal à l'angle en C'.
Il est intéressant de noter que la similitude englobe une catégorie particulière de triangles : les triangles isométriques. Deux triangles isométriques (ou « égaux ») sont, par définition, des triangles dont les côtés et les angles sont exactement les mêmes. Puisque tous leurs angles sont égaux deux à deux, il en découle logiquement que deux triangles isométriques sont semblables. L'inverse n'est cependant pas toujours vrai : deux triangles semblables ne sont pas nécessairement isométriques, car ils peuvent avoir des tailles différentes, tout en conservant la même forme. Par exemple, si l'on prend deux triangles ci-dessous qui sont isométriques (ou « égaux »), ils sont donc semblables. Cela démontre que l'isométrie est un cas particulier de la similitude, où le rapport de proportionnalité entre les côtés est égal à 1. La définition de deux triangles semblables, ainsi que la proportionnalité des longueurs des côtés homologues, sont des concepts assez simples à retenir, mais dont les implications sont profondes et variées.
Méthodes pour Démontrer la Similitude de Deux Triangles
Pour établir que deux triangles sont semblables, la méthode la plus directe et la plus couramment utilisée consiste à montrer qu'ils possèdent deux paires d'angles deux à deux de même mesure. Cette condition est suffisante, car la somme des mesures des angles d'un triangle est toujours de 180°. Par conséquent, si deux angles d'un triangle sont égaux à deux angles d'un autre triangle, le troisième angle doit nécessairement être égal aussi.
Prenons l'exemple des triangles ABC et A'B'C'. Supposons que l'on observe que \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} et \widehat{BCA} = \widehat{B'C'A'}. Ces deux paires d'angles de même mesure sont suffisantes pour conclure à la similitude. Le raisonnement pour le troisième angle se déroule comme suit :Comme la somme des mesures des angles d'un triangle vaut 180°, nous pouvons écrire pour le triangle ABC :\widehat{BAC} = 180° - \widehat{ABC} - \widehat{BCA}Et pour le triangle A'B'C' :\widehat{B'A'C'} = 180° - \widehat{A'B'C'} - \widehat{B'C'A'}Puisque nous avons établi que \widehat{ABC} = \widehat{A'B'C'} et \widehat{BCA} = \widehat{B'C'A'}, il en découle que les soustractions dans les deux équations seront équivalentes. Ainsi, nous obtenons :\widehat{BAC} = \widehat{B'A'C'}Les triangles ABC et A'B'C' ont donc bien leurs angles deux à deux de mêmes mesures. Par cette démonstration, on confirme que les triangles ABC et A'B'C' sont semblables.
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En quatrième, nous avons déjà abordé la définition des triangles égaux et avons eu l'occasion de faire une première approche des triangles semblables. Dans ce cours, nous rappelons non seulement leur définition, mais aussi leurs propriétés fondamentales. Quand on doit montrer que deux angles sont de même mesure, il est essentiel de penser à toutes les propriétés connues qui nous fournissent une égalité entre mesures d’angles. Ces propriétés incluent les angles opposés par le sommet, les angles alternes-internes, les angles correspondants lorsque des droites parallèles sont impliquées, ou encore les angles à la base d'un triangle isocèle. L'identification de ces relations angulaires est souvent la première étape cruciale pour prouver la similitude. Par exemple, si un énoncé mentionne des droites parallèles, on peut repérer une sécante sur la figure pour identifier des angles correspondants ou alternes-internes, qui seront de même mesure. Les droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles d’après un énoncé typique, et la droite $(AC)$ leur est sécante respectivement en $A$ et $B$. Dans un tel cas, les angles alternes-internes ou correspondants formés par ces intersections seront égaux. Dans le cadre d'une question préliminaire, on peut être amené à montrer que deux triangles, tels que $ABD$ et $BCE$, possèdent un couple d’angles de même mesure. Si $(BD)$ et $(CE)$ sont parallèles, et que $(AC)$ les coupe respectivement en $B$ et $C$, alors $\widehat{ABD}$ et $\widehat{BCE}$ sont des angles correspondants, et sont donc égaux. Une fois cette première étape réalisée, des questions subséquentes peuvent demander d'en « déduire » la similitude, ce qui signifie qu’il faut se servir de la question précédente pour répondre à celle-ci, utilisant ainsi les angles déjà identifiés.
Les Triangles Semblables et la Proportionnalité des Côtés
L'une des propriétés les plus importantes et les plus utiles des triangles semblables est la relation de proportionnalité qui existe entre les longueurs de leurs côtés. Lorsque des triangles sont semblables, les longueurs de leurs côtés correspondants sont proportionnelles. On dit aussi que deux triangles semblables ont les longueurs des côtés opposés aux angles de mêmes mesures proportionnelles.
Autrement dit, si deux triangles ABC et A'B'C' sont des triangles vérifiant \widehat{A}=\widehat{A'}, \widehat{B}=\widehat{B'} et \widehat{C}=\widehat{C'}, alors leurs côtés homologues sont dans un rapport constant. Ce rapport peut être représenté dans un tableau de proportionnalité.Si nous prenons un tableau de proportionnalité, il se présenterait ainsi :
| Longueurs du triangle ABC | AB | AC | BC |
|---|---|---|---|
| Longueurs du triangle A'B'C' | A'B' | A'C' | B'C' |
Cela signifie que le rapport A'B'/AB, A'C'/AC et B'C'/BC est constant. Ce rapport est appelé le coefficient de proportionnalité ou rapport de similitude. Si ce coefficient est supérieur à 1, le second triangle est un agrandissement du premier ; s'il est inférieur à 1, c'est une réduction. De plus, si deux triangles sont semblables, l’un est l’agrandissement de l’autre, et le dernier est la réduction du premier, selon le sens du rapport choisi.
Considérons un exemple concret. Les deux triangles suivants sont semblables, et leurs longueurs sont :
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| Longueurs du triangle ABC | 3 | 4 | 5 |
|---|---|---|---|
| Longueurs du triangle A'B'C' | 6 | 8 | 10 |
Dans ce cas, le tableau est bien un tableau de proportionnalité. Le coefficient de proportionnalité est de 2, car chaque longueur du triangle A'B'C' est le double de la longueur correspondante du triangle ABC. En effet, nous avons :6 = 2 × 38 = 2 × 410 = 2 × 5Ces deux triangles sont donc semblables. Plus précisément, A'B' = 2 × AB, B'C' = 2 × BC, et C'A' = 2 × CA. Les longueurs des triangles ci-dessus sont proportionnelles puisque les longueurs des côtés du triangle A'B'C' sont exactement les doubles des longueurs du triangle ABC.
Réciproquement, si deux triangles ont les longueurs de leurs côtés proportionnelles, alors ces deux triangles sont semblables. Cette réciproque est tout aussi fondamentale et mérite une démonstration détaillée.On considère deux triangles dont les côtés sont proportionnels. Notons ABC le plus petit et DEF le plus grand (si les triangles sont égaux, la réciproque du théorème est évidente) de sorte que :\dfrac{AC}{ED} = \dfrac{BC}{FD} = \dfrac{AB}{EF} (égalité 1)Pour démontrer que ABC et DEF sont semblables, nous allons utiliser le théorème de Thalès et la notion d'isométrie.Sur le côté [DF] du triangle EDF, on place un point G tel que DG = BC. Ensuite, on trace la droite passant par G et parallèle à la droite (EF). Cette droite coupe le segment [DE] en un point H, comme illustré dans une configuration typique.
Grâce à la construction de la parallèle (HG) à (EF), nous pouvons identifier des paires d'angles de même mesure. En effet, avec la droite (DF) comme sécante aux droites parallèles (HG) et (EF), les angles \widehat{HGD} et \widehat{EFD} sont des angles correspondants, et sont donc égaux. De même, avec la droite (DE) comme sécante, les angles \widehat{GHD} et \widehat{FED} sont également des angles correspondants et sont donc égaux. Le point D est commun aux deux triangles. Comme G est sur [DF] et H est sur [DE], on a aussi \widehat{HDG} = \widehat{EDF} (c'est le même angle). Cette observation montre que les triangles EDF et HDG ont leurs trois angles deux à deux de mêmes mesures, et sont donc semblables.
Par ailleurs, dans le triangle EDF, H est sur [DE] et G est sur [DF], et la droite (HG) est parallèle à la droite (EF). D'après le théorème de Thalès, nous pouvons écrire les rapports de proportionnalité suivants :\dfrac{GD}{FD} = \dfrac{HD}{ED} = \dfrac{HG}{EF}Or, par construction, nous avons posé BC = DG. En substituant DG par BC dans l'égalité de Thalès, nous obtenons :\dfrac{BC}{FD} = \dfrac{HD}{ED} = \dfrac{HG}{EF} (égalité 2)
Maintenant, comparons l'égalité (1) et l'égalité (2).De l'égalité (1) : \dfrac{AC}{ED} = \dfrac{BC}{FD} et \dfrac{AB}{EF} = \dfrac{BC}{FD}De l'égalité (2) : \dfrac{HD}{ED} = \dfrac{BC}{FD} et \dfrac{HG}{EF} = \dfrac{BC}{FD}En comparant les termes qui partagent le même dénominateur ou le même rapport, nous en déduisons :\dfrac{AC}{ED} = \dfrac{HD}{ED} , ce qui implique AC = HD.\dfrac{AB}{EF} = \dfrac{HG}{EF} , ce qui implique AB = HG.De plus, par notre construction initiale, nous avons BC = DG.Ainsi, les triangles ABC et HGD ont leurs trois côtés de mêmes longueurs : AB = HG, BC = DG, et AC = HD. Par conséquent, les triangles ABC et HGD sont isométriques (ou « égaux »).
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En résumé, la démonstration a établi deux points cruciaux :
- Les triangles HGD et EDF sont semblables.
- Les triangles ABC et HGD sont isométriques (ou « égaux »).De ces deux conclusions, il s'ensuit logiquement que les triangles ABC et EDF sont semblables. En effet, si ABC est égal à HGD, et que HGD est semblable à EDF, alors ABC doit être semblable à EDF. Cette preuve souligne le lien étroit entre les triangles semblables, le théorème de Thalès et l'isométrie.
Configurations Géométriques et Applications du Théorème de Thalès
La relation entre triangles semblables et le théorème de Thalès est particulièrement manifeste dans certaines configurations géométriques. On reconnaît une configuration où l’on peut appliquer le théorème de Thalès, celle dite « en papillon », ainsi que les « triangles emboîtés ». Ces deux configurations sont des cas spécifiques où l'on trouve des paires de triangles semblables.
Dans la configuration dite « en papillon », deux droites sécantes sont coupées par deux droites parallèles. Les triangles formés de part et d'autre du point d'intersection des sécantes sont semblables. Par exemple, si deux droites $(AD)$ et $(BE)$ sont parallèles, et sont coupées par des sécantes formant un point d'intersection, les angles alternes-internes et opposés par le sommet garantissent l'égalité des angles, et donc la similitude des triangles.Dans la configuration des « triangles emboîtés », une droite parallèle à l'un des côtés d'un triangle coupe les deux autres côtés (ou leurs prolongements), créant un triangle plus petit semblable au triangle initial.
Ces exemples ont permis de montrer à nouveau le lien fondamental entre triangles semblables et théorème de Thalès : deux triangles en configuration de Thalès, qu'il s'agisse de « triangles emboîtés » ou de « papillon », sont toujours semblables. Cette connexion est fondamentale pour la résolution de nombreux problèmes de géométrie, notamment ceux impliquant des calculs de longueurs ou des preuves de proportionnalité.
L'application des triangles semblables ne se limite pas à des figures abstraites, mais trouve sa pertinence dans des cas concrets comme la géométrie des voiles. Pour calculer des dimensions ou vérifier des proportions, on peut utiliser les rapports de similitude. Par exemple, si l'on est confronté à un problème où la hauteur d'une voile est inconnue, mais que l'on dispose des dimensions d'une voile similaire et de certaines mesures de la voile en question, la proportionnalité des côtés des triangles semblables devient un outil puissant.
Considérons un problème typique où l'on doit calculer une longueur inconnue à partir de triangles semblables. Un exemple fréquemment rencontré est le suivant :Identify the corresponding sides of the similar triangles. Si le triangle AFG est similaire au triangle BCE, alors le rapport des côtés correspondants est égal. La hauteur du plus grand triangle est FD, et la hauteur du plus petit triangle est ED. La base du plus grand triangle est AB + BD, et la base du plus petit triangle est BC. Cependant, le diagramme indique que la base du plus grand triangle est AD = 3.6 m et la base du plus petit triangle est DC = 2.4 m. La hauteur du plus grand triangle est FG = 5.4 m. Nous devons trouver la hauteur du plus petit triangle, qui est ED.
Pour résoudre ce problème, il faut établir une proportion en utilisant les côtés correspondants. Puisque les triangles sont semblables, le rapport de leurs hauteurs est égal au rapport de leurs bases.$$\frac{\text{FD}}{\text{ED}} = \frac{\text{AD}}{\text{DC}}$$Substituons les valeurs données dans la proportion :$$\frac{5.4}{\text{ED}} = \frac{3.6}{2.4}$$Maintenant, nous devons résoudre l'équation pour ED. Pour isoler ED, nous pouvons multiplier les deux côtés de l'équation par ED, puis par 2.4, et diviser par 3.6 :$$\text{ED} = \frac{5.4 \times 2.4}{3.6}$$Effectuons le calcul :$$\text{ED} = \frac{12.96}{3.6}$$$$\text{ED} = 3.6$$Ainsi, la hauteur du plus petit triangle, ED, est de 3.6 mètres. Cet exemple démontre l'efficacité des principes de similitude pour résoudre des problèmes de mesure indirecte, ce qui est très pertinent dans des domaines comme l'ingénierie ou la conception.