En géométrie comme en physique, la notion de barycentre occupe une place prépondérante. Offrant des insights fondamentaux, tant en ingénierie qu’en astronomie, ce mot désigne le centre de masse ou le point d’équilibre d’un système. Le concept de barycentre ne se limite toutefois pas qu’à ça et démontre son utilité en cartographie et en logistique, représentant une notion clé à travers sa définition et son utilisation diverses.
Définition Générale et Origines Étymologiques
Le barycentre est un concept mathématique construit sur la base d’un système de plusieurs points. Il correspond à la moyenne en statistiques et à la notion de centre d’inertie ou de gravité en physique. En mécanique, le barycentre représente le moment d’inertie ou celui qui est cinétique, tandis qu’en analyse spatiale, il correspond au point moyen ou central. En géométrie, spécifiquement, le barycentre est le point où se coupent les médianes d’un triangle, offrant une visualisation concrète de ce point d'équilibre.
Sur le plan étymologique, le mot « barycentre » vient du grec « barus » signifiant lourd ou pesant et du français "centre". Il peut être directement interprété comme « centre de gravité ». Ce point particulier sert à déterminer le centre théorique, encore appelé centroïde, d’un système de points ou de coordonnées, notamment dans un logiciel de cartographie.
Le Barycentre en Physique : Centre de Gravité et d'Inertie
La compréhension du barycentre est intrinsèquement liée aux phénomènes physiques, en particulier la gravité et l'inertie. Le nom du barycentre vient d’ailleurs du phénomène de gravité, par lequel la Terre attire tous les objets pesants, c'est-à-dire ceux qui ont une masse, vers elle. Le centre de gravité s'associe alors à la notion d'équilibre. Le centre de gravité peut être assimilé au centre géométrique du corps, représentant par exemple l'intersection des diagonales pour un objet simple. La force de la gravité est déterminée comme étant perpendiculaire au sol, donc verticale. Si la verticale passant par le centre de gravité passe aussi par la base de l'objet, celui-ci tient en équilibre ; sinon, il tombe.
Pour étudier le centre de gravité d'un objet ou d'un système de plusieurs objets, on étudie le centre de gravité entre des points dotés de masses, ce que l'on appelle le barycentre. Une balance de Roberval, par exemple, est constituée de deux plateaux à égale distance du centre de la balance, illustrant l'équilibre des masses.
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Le barycentre, initialement compris comme le centre des poids ("barus" signifiant poids), est avant tout une notion physique et mécanique. Le mathématicien et physicien Archimède fut le premier à avoir étudié le barycentre en tant que centre des poids, ce que l'on nomme de nos jours le centre de gravité. Archimède est un savant grec né à Syracuse (Sicile) en 287 avant J.-C. Son œuvre scientifique, qui touche à la mathématique, la géométrie et la physique, est considérable, incluant le principe d’Archimède sur la poussée subie par tout corps immergé, et la fixation de la valeur du nombre pi (π) à 3,1416. Il est l'un des premiers à comprendre et à expliciter le principe des moments, le principe des leviers et le principe du barycentre. Si, par exemple, la masse m1 est 4 fois plus importante que la masse m2, il faudra que la longueur OA soit 4 fois plus petite que la longueur OB pour maintenir l'équilibre. Archimède est également le premier à avoir cherché des centres de gravité de surfaces, telles que des demi-disques ou des paraboles, procédant par approximations successives. Il a pu prouver que la recherche d'un centre de gravité utilise des méthodes analogues à celles du calcul d'aire.
La notion de centre d'inertie G pour un système non solide est quant à elle une notion dégagée par Christiaan Huygens en 1654, lors de l'établissement de sa théorie des chocs. Même s'il sait que la quantité de mouvement (P) est conservée (P = P), il n'était pas évident pour lui que G, le centre d'inertie, irait à vitesse constante. En particulier au moment de la percussion, où des forces quasi-infinies entrent en jeu, avec éventuellement le bris de la cible, G n'en continue pas moins imperturbé son mouvement ; cela paraissait mirifique à Huygens, qui ne connaissait pas encore le calcul différentiel. En mécanique, le centre d'inertie d'un corps correspond au barycentre des particules qui composent le corps en question, chaque particule étant pondérée par sa masse propre. Pour des corps continus, on emploie comme fonction de pondération la masse volumique (ρ) du corps. Le centre d'inertie ne dépend donc pas de la masse volumique mais de la forme du corps.
Une propriété étonnante du centre d'inertie est que son mouvement est parfaitement déterminé par les lois du mouvement, quoi qu'il arrive à ses composants, aussi longtemps que ceux-ci ne subissent pas eux-mêmes de force nouvelle. Ainsi, par exemple, si un obus éclate en vol, le centre d'inertie de ses fragments continue à suivre imperturbablement une parabole comme si de rien n'était, abstraction faite des effets de résistance de l'air, avant, pendant et après l'explosion. Le centre de gravité est fondamentalement lié au champ de gravité dans lequel le corps est plongé. Très souvent en mécanique, la dimension des corps étant faible devant la rotondité de la Terre, on considère un champ de gravité uniforme. Pour déterminer la résultante des différents poids, on utilise un premier funiculaire, la pièce étant dans une position donnée ; on effectue un second funiculaire en considérant les « poids horizontaux », ce qui revient à tourner la pièce d'un quart de tour.
Par ailleurs, dans le domaine de la chimie, lorsque, dans une molécule ou dans une liaison chimique, les barycentres des charges électriques positives et négatives ne coïncident pas, la juxtaposition de ces charges opposées porte le nom de dipôle électrique. On dit encore que la molécule ou la liaison possède un moment dipolaire.
Le Barycentre comme Concept Mathématique Fondamental
La définition mathématique du barycentre formalise ces notions physiques en les étendant à des points affectés de coefficients réels, pas nécessairement positifs. Les points considérés appartiennent au plan ou à l'espace. Un point (A{i}) affecté d'un réel (\alphai,) noté ((Ai, \alphai),) est appelé point pondéré (ou point massif en physique, quand (\alpha_i > 0) représente une masse).
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Définition : Le point (G) est appelé le barycentre de (n) points pondérés ((A1, \alpha{1}), (A2, \alpha2), …, (An, \alphan)) si la somme des coefficients est non nulle ((\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} \alpha{i} \ne 0})) et si la relation vectorielle suivante est satisfaite : (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} ~\overrightarrow{GA_{i}}= \overrightarrow{0}}).
Pour un point (O) arbitraire, nous avons une relation équivalente, souvent utilisée pour le calcul du barycentre. En exprimant chaque vecteur (\overrightarrow{GAi}) comme (\overrightarrow{OAi} - \overrightarrow{OG}), on obtient :(\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} ~\bigg(\overrightarrow{OA{i}}- \overrightarrow{OG} \bigg) = \sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} ~\overrightarrow{OA{i}} - \bigg( \sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \bigg) ~\overrightarrow{OG} = \overrightarrow{0}})De là, on peut isoler (\overrightarrow{OG}) pour obtenir la formule vectorielle du barycentre par rapport à une origine (O):(\overrightarrow{OG} = \frac{\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} ~\overrightarrow{OA{i}}}}{\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha_{i}}})
Cette définition s'applique dans un espace affine A attaché à un espace vectoriel E (sur un corps commutatif K). On appelle un « point M de A affecté de la masse λ » l'élément (M, λ) de l'ensemble A × K.
Coordonnées du Barycentre et Exemples de Calcul
Dans un espace muni d'un repère (\bigg(O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k} \bigg)), si ((xi; yi; zi)) sont les coordonnées du point pondéré ((Ai, \alphai)) et ((xG; yG; zG)) celles du barycentre (G), alors les coordonnées de (G) sont données par les formules suivantes :(xG = \frac{\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} ~x{i}}}{\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i}}} ;~ yG = \frac{\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} ~y{i}}}{\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i}}} ; ~ zG = \frac{\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} ~z{i}}}{\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i}}})
Exemple : Détermination des coordonnées du barycentreConsidérons trois points dans un repère orthonormé (\bigg(O, \vec{i},\vec{j},\vec{k} \bigg)): (A (-3,1,2) ;~ B(-2,-1,1) ;~ C(0,3,-3)).
Nous voulons calculer les coordonnées ((xG,yG,zG)) du barycentre (G) de ces trois points pondérés respectivement des coefficients (2),(-1) et (1).D'abord, calculons la somme des coefficients : (\displaystyle{\sum{i = 1}^{3} ~\alpha{i} = 2-1+1 = 2}). Cette somme étant non nulle ((\ne 0)), un barycentre existe.Appliquons ensuite les formules de coordonnées :(xG = \frac{1}{2} \bigg(2\bigg(-3\bigg) + \bigg(-1\bigg)\bigg(-2\bigg) + \bigg(1\bigg)\bigg(0\bigg)\bigg) = \frac{1}{2} (-6 + 2 + 0) = -2)(yG = \frac{1}{2} \bigg(2\bigg(1\bigg) + \bigg(-1\bigg)\bigg(-1\bigg) + \bigg(1\bigg)\bigg(3\bigg)\bigg) = \frac{1}{2} (2 + 1 + 3) = 3)(zG = \frac{1}{2} \bigg(2\bigg(2\bigg) + \bigg(-1\bigg)\bigg(1\bigg) + \bigg(1\bigg)\bigg(-3\bigg)\bigg) = \frac{1}{2} (4 - 1 - 3) = 0)Ainsi, les coordonnées du barycentre (G) sont ((-2,3,0)).
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L'Isobarycentre : Un Cas Particulier de Barycentre
Le barycentre de (n) points pondérés ((A1, \alpha1), (A2, \alpha2), …, (An, \alphan)) est appelé isobarycentre lorsque tous les coefficients (\alphai) sont égaux et non nuls (par exemple, (\alphai = 1)). Il représente alors le centre géométrique des points.
Exemple : Calcul de l'isobarycentreReprenons les mêmes trois points dans un repère orthonormé (\bigg(O, \vec{i},\vec{j},\vec{k} \bigg)): (A (-3,1,2) ;~ B(-2,-1,1) ;~ C(0,3,-3)).
Calculons les coordonnées ((x'G,y'G,z'G)) de l'isobarycentre (G') de ces trois points pondérés respectivement des coefficients (\alpha{A}=\alpha{B} = \alpha{C} = 1).La somme des coefficients est : (\displaystyle{\sum{i = 1}^{3} ~\alpha{i} = 1+1+1 = 3 }).Nous obtenons les coordonnées de l'isobarycentre (G') :(x'G = \frac{1}{3} \bigg(-3-2+0\bigg) = -\frac{5}{3})(y'G = \frac{1}{3} \bigg(1-1+3\bigg) = 1)(z'_G = \frac{1}{3} \bigg(2+1-3\bigg) = 0)donc les coordonnées de l'isobarycentre (G') sont ((-5/3,1,0)).
Propriétés Fondamentales du Barycentre
Plusieurs propriétés essentielles découlent de la définition du barycentre.
Relation vectorielle pour tout point MSoit ((A1, \alpha1), (A2, \alpha2), …, (An, \alphan)) (n) points pondérés, avec (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \ne 0}). Pour tout point (M), on a la relation vectorielle fondamentale :
(\alpha{1} \overrightarrow{MA{1}} + \alpha{2} \overrightarrow{MA{2}} + … + \alpha{n} \overrightarrow{MA{n}} = \bigg( \alpha{1} + \alpha{2} +… +\alpha{n} \bigg)\overrightarrow{MG})Cette relation peut s'écrire de manière compacte : (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{MA{i}}} = \bigg( \displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \bigg) \overrightarrow{MG}}).
Démonstration :Partons de la somme (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{MA{i}}}). En utilisant la relation de Chasles ((\overrightarrow{MAi} = \overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GAi})), on peut développer l'expression :(\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{MA{i}}} = \alpha{1} \overrightarrow{MA{1}} + \alpha{2} \overrightarrow{MA{2}} + … + \alpha{n} \overrightarrow{MA{n}})( = \alpha{1} \bigg(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA{1}}\bigg) + \alpha{2} \bigg(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA{2}}\bigg) + … + \alpha{n} \bigg(\overrightarrow{MG} + \overrightarrow{GA{n}}\bigg))En regroupant les termes, cela donne :( =\big(\alpha{1} + \alpha{2}+ … + \alpha{n} \big)\overrightarrow{MG} + \alpha{1} \overrightarrow{GA{1}} + \alpha{2} \overrightarrow{GA{2}} + … + \alpha{n} \overrightarrow{GA{n}})Qui peut être réécrit comme :( = \displaystyle{ \bigg( \sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \bigg) \overrightarrow{MG}} + \displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{GA{i}}})Puisque par définition du barycentre, (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{GA{i}}} = \overrightarrow{0}), l'expression se simplifie pour devenir :( = \displaystyle{ \bigg( \sum{i = 1}^{n} ~\alpha_{i} \bigg) \overrightarrow{MG}}).
Invariance du barycentreUne autre propriété clé est l'invariance du barycentre. Pour tout scalaire (k \in \mathbb{R}^{*}) (non nul), les points pondérés ((A1, \alpha1), (A2, \alpha2), …, (An, \alphan)) et ((A1, k\alpha1), (A2, k\alpha2), …, (An, k\alphan)) ont le même barycentre. Cette propriété découle du fait que si (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{GA{i}}} = \overrightarrow{0}), alors en multipliant par (k), on obtient (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\big(k \alpha{i}\big) \overrightarrow{GA{i}}} = \overrightarrow{0}), ce qui maintient la définition du barycentre (G) pour les coefficients multipliés.
Propriété d'associativitéLe barycentre (G) de (n) points pondérés est invariant quand on remplace un sous-ensemble de (p) points d'entre eux par leur barycentre (H), à condition que celui-ci soit affecté de la somme des coefficients des (p) points ((\displaystyle{\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \ne 0})). Dans ce cas, (G) est alors le barycentre de la famille de points pondérés : (\bigg( H, \displaystyle{\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \bigg)},\big(A{p+1}, \alpha{p+1} \big),..,\big(A{n},\alpha{n}\big)).
Démonstration de l'associativité :Si (H) est le barycentre des points pondérés ((A1, \alpha1), (A2, \alpha2), …, (Ap, \alphap)), alors d'après la relation vectorielle pour tout point (M), on a :(\displaystyle{\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \overrightarrow{MA{i}}} = \displaystyle{\bigg(\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \bigg)\overrightarrow{MH}}).Pour le cas particulier où (M = G), le barycentre de l'ensemble complet des (n) points, cette relation devient :(\displaystyle{\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \overrightarrow{GA{i}}} = \displaystyle{\bigg(\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \bigg)\overrightarrow{GH}}).Or, (G) étant le barycentre des (n) points pondérés ((A1, \alpha1), (A2, \alpha2), …, (An, \alphan)), sa définition implique que (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{GA{i}}} = \overrightarrow{0}).On peut décomposer cette somme en deux parties :(\displaystyle{\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \overrightarrow{GA{i}}} + \displaystyle{\sum{i = p+1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{GA{i}}} = \overrightarrow{0}).En substituant la première partie par l'expression concernant (H), on obtient :(\displaystyle{\bigg(\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \bigg) ~\overrightarrow{GH}} + \displaystyle{\sum{i = p+1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{GA{i}}} = \overrightarrow{0}).Comme la somme totale des coefficients des (n) points est non nulle ((\displaystyle{\bigg(\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \bigg) } + \displaystyle{\bigg(\sum{i = p+1}^{n} ~\alpha{i} \bigg)} \ne 0)), l'égalité précédente prouve que (G) est bien le barycentre des points pondérés (\bigg( H, \displaystyle{\sum{i = 1}^{p} ~\alpha{i} \bigg)},\big(A{p+1}, \alpha{p+1} \big),..,\big(A{n},\alpha{n}\big)).
Cas où la somme des coefficients est nulleSi la somme des coefficients est nulle ((\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} = 0})), le barycentre n'existe pas au sens usuel. Cependant, une propriété particulière s'applique dans ce cas :
Pour tous points (M) et (N), la somme vectorielle (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{MA{i}}}) est constante, c'est-à-dire :(\alpha{1} ~\overrightarrow{MA{1}} +\alpha{2} ~\overrightarrow{MA{2}} + … + \alpha{n} ~\overrightarrow{MA{n}} = \alpha{1} ~\overrightarrow{NA{1}} +\alpha{2} ~\overrightarrow{NA{2}} +… + \alpha{n} ~\overrightarrow{NA{n}} = \textrm{cste}).Cette invariance peut être écrite comme (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{MA{i}}} =\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{NA_{i}}} = \textrm{cste}).
Démonstration :Pour (M) différent de (N), calculons la différence entre les deux sommes vectorielles :(\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{MA{i}}} - \displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{NA{i}}})( = \alpha{1} \overrightarrow{MA{1}} + \alpha{2} \overrightarrow{MA{2}} + … + \alpha{n} \overrightarrow{MA{n}} - \alpha{1} \overrightarrow{NA{1}} - \alpha{2} \overrightarrow{NA{2}} - … - \alpha{n} \overrightarrow{NA{n}})En regroupant les termes par point (Ai) et en utilisant la relation de Chasles ((\overrightarrow{MAi} - \overrightarrow{NAi} = \overrightarrow{MN})) :( = \alpha{1} \bigg(\overrightarrow{MA{1}} - \overrightarrow{NA{1}}\bigg) + \alpha{2} \bigg(\overrightarrow{MA{2}} - \overrightarrow{NA{2}}\bigg) + … + \alpha{n} \bigg(\overrightarrow{MA{n}} - \overrightarrow{NA{n}}\bigg))( = \alpha{1} \overrightarrow{MN} + \alpha{2} \overrightarrow{MN} +…+\alpha{n} \overrightarrow{MN})En factorisant par (\overrightarrow{MN}) :( = (\alpha{1} + \alpha{2} + … + \alpha{n} ) \overrightarrow{MN})Puisque par hypothèse (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i}} = 0), la somme devient nulle :( = \overrightarrow{0}).Ceci prouve que (\displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{MA{i}}} = \displaystyle{\sum{i = 1}^{n} ~\alpha{i} \overrightarrow{NA{i}}} = \textrm{cste}).
Applications du Barycentre en Géométrie
Le concept d'isobarycentre trouve des applications directes et intuitives en géométrie pour la détermination de centres de figures remarquables :
- L'isobarycentre (G) de deux points (A) et (B) se situe au milieu du segment ([AB]). Il est le point équidistant des deux extrémités, les coefficients étant égaux.
- L'isobarycentre (G) de trois points (A), (B) et (C), qui ne sont pas alignés, se trouve au centre de gravité du triangle (ABC). C'est le point de concours des trois médianes du triangle. Par exemple, (G) est le point de concours des 3 médianes (AM), (BO) et (CN) du triangle (ABC), où (M, O, N) sont respectivement les milieux des côtés opposés.
- L'isobarycentre (G) de quatre points (A), (B), (C) et (D), non coplanaires, est le centre de gravité du tétraèdre (ABCD). C'est le point de concours des quatre médianes (qui joignent un sommet au centre de gravité de la face opposée, par exemple (Ag1), (Bg2), (Cg3), (Dg4), où (g1, g2, g3, g4) sont les centres de gravité des triangles (BCD, ACD, ABD, ABC) respectivement). C'est aussi le point de concours des trois droites joignant les milieux de deux arêtes opposées (par exemple ((EF, HI, JK))).